Dužina obale gospodina M.

„Oblaci nisu sfere, planine nisu kupe, ni kora drveta nije glatka, niti se svetlost kreće po pravoj liniji. Priroda pokazuje ne samo viši stepen već i različite nivoe kompleksnosti“, napisao je u uvodu u pionirsku knjigu Fraktalna geometrija prirode nekonvencionalni francuski matematičar Benoa Mandelbrot (1924–2010), koji će ostati zapamćen kao rodonačelnik fraktalne geometrije, revolucionarne matematike našeg doba.

Jedan od najvećih genija XX veka, Mandelbrot, preminuo je prošlog meseca u 85. godini života u jednoj američkoj bolnici. Nakon njegove smrti, milioni ljubitelja fraktala iskazali su saučešće širom interneta, stotine matematičara ga je proglasilo „poslednjim genijem“, a francuski predsednik Nikola Sarkozi rekao je da je Mandelbrot bio „snažan, originalan um“ čiji je „rad, razvijen u potpunosti izvan glavnih tokova, doveo do nastanka teorije informacija“.

Mandelbrot je ne samo istraživao već smislio i naziv „fraktal“ za „razlomljene“ geometrijske strukture koje su samoslične, skalarno invarijantne i najčešće sa necelobrojnom Hauzdorfovom dimenzijom. To ime je dobio od latinske reči fractus, koja znači razlomljen ili delić.

MATEMATIČKA ČUDOVIŠTA: Šta su, u stvari, fraktali? I šta znači da su to linije koje su samoslične i skalarno invarijantne? Pre svega, dok su pravilne figure sačinjene od pravih duži, ove figure se sastoje od razlomljenih linija koje se sastoje od manjih celina. Međutim, nije svaka razlomljena i isprekidana linija fraktalna. Glavna tajna fraktala je što su delovi njegovih linija sasvim nalik na ceo lik fraktala, što se naziva samosličnošću, kao i da koliko god da im blizu prilazite, uvek vidite isti lik, što je pak famozna skalarna invarijantnost. Ma kako delovale beskorisno, ispostavilo se da su baš ove egzotične Mandelbrotove linije u poslednje tri decenije u velikoj meri promenile način na koji vidimo svet.

Matematičari pre Mandelbrota su fraktale smatrali „patološkim zverima“, prekomplikovanim da bi se proučavali. Smatrano je u najmanju ruku neugodnim što se neke od geometrijskih figura nacrtanih po sasvim pristojnim analitičkim formulama neobjašnjivo pretvaraju u ta diskretna, razlomljena čudovišta. Fraktali, razlomljene i beskonačne linije unutar konačne površine, na prvi pogled su bili sve ono što jedan matematičar ne želi da vidi kod jedne linije ili figure.

No, nakon što ih je Mandelbrot jasno i jednostavno objasnio, uvodeći ih u matematiku kao odbeglu decu, najednom je postalo očigledno da fraktali nisu samo retke i besmislene matematičke konstrukcije. I da je stvar u tome što je zapravo naš stari suviše robustni, euklidski način modeliranja prirode onaj koji je redak.

Jer, pokazuje se da unaokolo uopšte nisu samo euklidske figure sa celobrojnom dimenzijom nego nas svuda okružuju fraktalni oblici – u krošnjama stabala, u pukotinama na asfaltu, u oblacima, u listovima kupusa, u liniji morske obale, planinskim vencima i snežnim pahuljicama, čak i na ljudskom dlanu. Fraktali su neizostavni u proučavanju fenomena haosa, a često služe da opišu i mnoge pojave u fizici čvrstog stanja. Neki naučnici, kao što su opskurni ruski matematičari Igor i Griška Bogdanov, misle da fraktali prožimaju čitav svet i da su, čak, stariji od univerzuma.

FRAKTALNI PUT: Sa buđenjem fraktalne geometrije sredinom osamdesetih godina XX veka, fraktali su postali toliko popularni da su na hiljade mladih naučnika i inženjera napuštali svoje oblasti kako bi istraživali čudesni svet fraktala. A sve je počelo sa Mandelbrotom, čija je bogata naučna karijera i sama ličila na fraktal. „Ako uzmete početak i kraj, imao sam konvencionalnu karijeru“, rekao je Mandelbrot u jednoj prilici. „Ali, između se nije nalazila prava linija, već jedna vrlo izlomljena.“ Kao i svaki život, uostalom.

Benoa Mandelbrot se rodio u Varšavi u Poljskoj, u porodici jevrejskog porekla. Zbog straha od širenja nacizma, Mandelbrotovi su se 1936. doselili u Francusku. Kad je bio dečak, Benoa je prvu matematiku učio na podstrek ujaka u Parizu, ali ga je rat sprečio da dalje prati redovno školovanje. Jer, kad su nacisti stigli i do Pariza, Mandelbrotovi su pobegli u relativno zabačeni grad Tula na jugu zemlje, skrivajući se kako bi preživeli.

„Imao sam mladost sa mnogo događaja“, rekao je u jednom od intervjua opisujući svoje skrivanje od nacista tokom rata. „Imali smo mnogo sreće, ali verovatno nije slučajno što sam počeo da izučavam turbulencije i rizik. One su bile sastavni deo mog života“, rekao je Mandelbrot. Nakon rata, ovaj jevrejski dečak se vratio matematici, prvo u Parizu, a zatim u Americi gde je doktorirao na Prinstonu kod slavnog profesora Džona fon Nojmana. Međutim, po njegovim rečima, prekid u školovanju je uticao da nikada ne sagledava matematiku na konvencionalan način, već da „sve gleda kroz geometriju“. To ga je i odvelo u njena najegzotičnija područja.

Isprva se, početkom pedesetih godina, bavio teorijom infromacija i ekonomskom teorijom. U to doba je došao do zaključka da berza i finansijsko tržište ne slede prirodnu, Gausovu raspodelu, već da slede takozvanu Levijevu raspodelu. Ovim pitanjima se bavio i kasnije, a pre nekoliko godina je i otvoreno upozoravao na preveliku sigurnost u stabilnost berzanskog poslovanja i ponašanje trgovaca na berzi, što će se sa početkom svetske ekomonske krize pokazati kao sumorno, ali sasvim opravdano predviđanje.

STRUKTURA PRIRODE: Nakon nekoliko godina akademske karijere u Francuskoj i Švajcarskoj, Mandelbrot je sa suprugom napustio Evropu i pridružio se istraživačkom odeljenju pri kompaniji IBM u Americi, gde je radio 35 godina, sve dok 1987. IBM nije odlučio da ugasi teorijska istraživanja u kompaniji. Šezdesetih godina Mandelbrot počinje da rešava jedan vrlo stari matematički zadatak, što dovodi do objave kultnog rada Koliko je duga obala Britanije? 1967. u časopisu „Sajens“.

Ovaj u suštini geometarski zadatak da se odredi tačna dužina obale je, naime, pre toga bio nerešiv, ma kako naizgled bio trivijalan. Paradoks je bio u tome da ako geometar obalu posmatrata sa veće visine, vidi liniju jedne dužine, ali, ako joj se malo približi, videće kako obala postaje detaljnija i više razuđena, što, logično, povećava dužinu same linije obale. Kad se još približi, razuđenost i dužina postaju još veće.

Tako merenje zavisi od skale, odnosno razmere, na kojoj ga geometar izvodi. Matematički fraktal zapravo nema granicu, on se širi do u beskonačnost, sa sve manjim i manjim grančicama. U konkretnom primeru Britanije, ako koristite osnovnu jedinicu od 200 km, dužina će biti 2400 km, a ako usitnite razmeru i koristite jediničnu duž od 50 km, dužina obale postaje 3400 km.

Mandelbrot je zaključio da je linija obale samoslična, što će kasnije postati glavna osobina svih fraktala. Takođe je izračunao da Hausdrofova dimenzija ove figure nije jedan (jedan je dimenzija obične linije), ali nije ni dva (što je dimenzija neke ograničene površi u ravni), već da ovakvi objekti imaju necelobrojnu, fraktalnu dimenziju, koja je u slučaju britanske obale 1 i jedna četvrtina.

Narednih godina, Mandelbrot je nastavio da izučava „obalske“ strukture, da bi 1975. formulisao naziv fraktal. Proučavaće razne fraktale, a 1979. će opisati jedan od najsloženijih ikad smišljenih geometrijskih oblika, koji ima vrlo jednostavnu analitičku formulu. Međutim, nacrtan u ravni kompleksnih brojeva, on se pretvara u beskonačnu zver. Ovaj fraktal je kasnije dobio naziv po njemu – Mandelbrotov skup (na slici). Predivni bojeni patern ovog fraktala, čiji se „mehuri“ sasvim jednako ponavljaju što mu se više približavate, postaće simbol nove matematike. Godinama će se pojavljivati na stotinama udžbenika, časopisa i računarskih skrinsejvera.

Mada neprekidno napadan zato što izučava budalaštine, svoje ključno delo Fraktalna struktura prirode. Mandelbrot je konačno objavio 1982. godine i napravio potpunu revoluciju. Pisano jasnim, lepim jezikom, ovo delo je steklo veliki broj poklonika i izvan sveta matematike. To je podstaklo ubrzani razvoj fraktalne geometrije, kao i neke sasvim nove uvide u teoriju haosa, koja se poslužila tom novom matematikom da opiše one fizičke sisteme koji imaju sklonost da iz finog, determinističkog kretanja, sami pređu u haos. Izučavanju fraktala narednih godina posebno doprinosi razvoj računara, koji omogućuju da se na osnovu jednostavnih formula u velikom broju iteracija ove složene figure nacrtaju.

Pored drugih stvari, Mandelbrot je ponudio i jedno alternativno rešenje čuvenog Olbersovog paradoksa. Ovo davno postavljeno astronomsko pitanje vezano je za beskonačnost svemira i kaže da ako već ima beskonačno mnogo zvezda, zašto nebo noću ne blješti – ako ih ima beskonačno, zvezde se moraju nalaziti u svakoj tački neba. Ustaljeno objašnjenje, sasvim u savremenom duhu modela Velikog praska, smislio je još slavni američki pisac i astronom amater Edgar Alan Po – nebo ne blješti jer se svemir širi i svetlost ne stiže iz svake tačke odjednom na Zemlju.

Mandelbrot je, međutim, predložio i drugu mogućnost – ako su zvezde u svemiru fraktalno raspoređene, biće ih beskonačno, ali neće se nalaziti u svakoj tački i kosmos noću neće blještati, već će biti taman, kao što i jeste. Jedan od načina koji je ponudio Mandelbrot je da se zvezde postave kao višedimenzionalni oblik jednog fraktala koji je poznat Kantorov skup. To, naravno, ne znači da teorija Velikog praska ne važi i uz takvu mogućnost. Ali, ne znači ni da važi. Odgovor bi se možda mogao odgonetnuti samo ako ga, sasvim u duhu Benoe Mandelbrota, geometrijski nacrtamo.

Nakon njegove smrti jedan od zaljubljenika u fraktale objavio je na svom blogu da je prethodnog dana autor strukture sveta promenio fraktalnu dimenziju.