Sfera Griše Perelmana

Na otvaranju Međunarodnog kongresa matematičara koji se ove godine održava u Španiji, profesor Džon Bol, predsednik komiteta za dodelu nagrada Međunarodne unije matematičara, proglasio je dobitnike Fildsove medalje, priznanja koja se svake četvrte godine dodeljuje matematičarima umesto Nobelove nagrade, pošto ona za matematiku ne postoji. „Međunarodna unija za njegov izuzetan doprinos u geometriji i za revolucionarna otkrića nagrađuje Fildsovom medaljom“, rekao je 22. avgusta u Madridu profesor Bol (potom podigavši glas), „Grigorija Perelmana.“ Tišina. Niko u dvorani nije ustao da primi nagradu. Matematičari su se samo osvrtali i došaptavali. Profesor je pogledao u papir i ponovo pročitao „Grigorij Perelman“. Potom se osmehnuo, iako laureata nije bilo. Osmehivali su se i ostali učesnici kongresa. Dvoranom je tada odjeknuo gromoglasan aplauz. Mada su dobitnici Fildsove medalje strogo čuvana tajna sve do javnog proglašenja, posle objavljivanja Perelmanovog rešenja nedokazive Poenkareove tvrdnje, ove godine su svi naslućivali dobitnika. I svi su očekivali da se on neće pojaviti da primi nagradu.

PROBLEM OD MILION DOLARA: U međuvremenu, krupan muškarac u ruskoj rubaški, sa grubim čelom, sitnim očima i gustom crnom bradom koračao je kroz brezovu šumu. Negde u njenoj dubini nalazi se usamljena drvena kuća sa samovarom i stolom prepunim papira gusto ispisanih jednačinama. Tako se uglavnom zamišlja trenutno boravište Grigorija Jakovljeviča Perelmana, mladog ruskog matematičara za koga se jedinio sigurno može reći da je jedan od najgenijalnijih živih ljudi na planeti. A gde je on tačno, nikom iz sveta matematike nije poznato već deset godina.

Grigorije ili Griša Perelman je sredinom devedesetih napustio mesto na Univerzitetu u Berkliju u Kaliforniji i vratio se na Institut „Stelkov“ u Sankt Peterburgu, da bi potom sasvim nestao. U maju 2003. godine, Perelman je odjednom na internet sajtu arXiv objavio tri naučna rada iz topologije, u kojima je pokušao da klasifikuje trodimenzionalne prostore. Kada su ovi komplikovani radovi provereni, ustanovljeno je da se u trećem nalazi tačan dokaz matematičke hipoteze koju je 1904. godine formulisao Anri Poenkare.

Matematički institut Klaj stavio je 1999. godine Poenkareovu pretpostavku na spisak od sedam najvećih nerešenih problema u matematici, nudeći za svaki od njih nagradu od milion dolara. Međutim, kada se ispostavilo da je Perelman dokazao ovu sto godina staru pretpostavku, on je odbio da primi nagradu. To je dodatno šokiralo sve svetske matematičare. Perelman je, navodno, zadovoljan što je rešio tako težak problem i veća nagrada mu ne treba, kako su medijima rekli njegovi nekadašnji saradnici. U međuvremenu, Perelmanove radove na 1000 strana teksta analizirali su brojni vodeći svetski matematičari. Na ovogodišnjem kongresu u Madridu Perelmanov dokaz Poenkareove pretpostavke je zvanično i konačno potvrđen.

POENKAREOVA SFERA: Ljudima bez matematičkog obrazovanja ni sama formulacija Poenkareove hipoteze nije baš sasvim jednostavna, mada je ona za ljude koji se bave topologijom i geometrijom gotovo očigledna. Francuski matematičar Anri Poenkare zapitao se „da li je sfera zatvoreni trodimenzionalni prostor kod koga sve zatvorene krive prolaze kroz jednu tačku?“. Po Poenkareovom tvrđenju, trodimenzionalna sfera je jedina vrsta ograničenog trodimenzionalnog prostora u kome nema rupa.

U slučaju dvodimenzionalnog prostora i običnih sfera, to nije teško shvatiti. Ako zamislimo gumu koja bi se bez pucanja lako razvukla po površini jabuke, jasno je da to isto nije moguće učiniti sa đevrekom, pošto on ima rupu u svojoj sredini. Zapravo, za sve druge varijante, osim za trodimenzionalni slučaj, pretpostavka nije preterano složena. Tako je 1961. godine Stiven Smajl dokazao tvrdnju za sve dimenzije sfere veće od četiri. Kasnije je 1982. Majkl Fridman pokazao da ona važi i za četvorodimenzionalne sfere. Međutim, trodimenzionalni slučaj je ostao nedokaziv, sve do Perelmana. Svi pokušaji da se ona dokaže su propali.

Po tome je ovaj trodimenzionalni zadatak svrstan među one uklete matematičke probleme poput Goldbahove i Rimanove hipoteze, probleme koje matematičari decenijama i vekovima ne uspevaju da reše, a koji svojim rešavaocima donose godine uzaludno utrošenog truda i uništenih karijera. Najpoznatiji takav slučaj je Fermaova poslednja teorema, koja ima sasvim jednostavnu formu i tvrdi da ne postoje prirodni brojevi koji zadovoljavaju relaciju xn + yn = zn, ako je stepen n veći od dva. Francuski matematičar Pjer Ferma je u XVII veku na margini prevoda Diofantove Aritmetike zapisao kako je „otkrio zaista fantastičan dokaz ove tvrdnje, ali ova margina je suviše mala da bih ga sada iznosio“. Međutim, u četiri naredna veka svi su se okušali na ovom problemu, ali niko nije uspeo da teoremu dokaže, sve dok Endru Vajls 1993. godine nije zapanjio matematičku javnost svojim konačnim dokazom.

Slično se dogodilo kada je deset godina kasnije najavljeno da je Perelman dokazao Poenkareovu pretpostavku. Matematičar Ričard Hamilton predložio je taktiku kojom bi se ona mogla rešavati. Njegov pristup je „dinamički proces“, u kome bi se na neki način postepeno menjala trodimenzionalna površ, sve dok se ne dođe do rešenja. U svom dokazu Perelman je koristio ovu taktiku i analitički proučavao Ričijev tenzor, sve dok nije došao do dokaza. Pritom, on je proširio sam problem i klasifikovao trodimenzionalne prostore. Ova rešenja, uz samu Poenkareovu hipotezu, biće od izuzetne koristi u fizici elementarnih čestica, u proučavanju DNK i na svim poljima gde se koristi matematička topologija.

IZA GRANICE: Rus jevrejskog porekla, Grigorije Perelman rođen je 13. juna 1966. godine. Dobro matematičko obrazovanje stekao je u slavnoj Matematičkoj školi u Sankt Peterburgu. Kao i drugi ruski dečaci talentovani za matematiku, učestvovao je na takmičenjima gde je njegova izuzetnost brzo zapažena. Kao deo petočlane sovjetske ekipe, 1982. godine učestvovao je na Međunarodnoj matematičkoj olimpijadi i osvojio zlatnu medalju. Kasnije je upisao Fakultet mehanike i matematike na državnom univerzitetu u Sankt Peterburgu, gde je doktorirao. Tokom osamdesetih i devedesetih godina, Perelman je radio na nekoliko američkih univerziteta, da bi se 1994. vratio u Rusiju. Očigledno da je proveo osam godina dokazujući Poenkareovu pretpostavku i izvodeći zaključke koji slede iz nje. Kada je objavio svoje rezultate, prihvatio je i da održi jednu seriju predavanja u Stoni Bruku u Njujorku, ali je posle toga ponovo nestao, sasvim ravnodušan na priznanja koja su mu nuđena. Perelman svom radu čak nije dao uobičajenu formu koju je Institut Klaj zahtevao kao uslov svog milionskog konkursa.

Matematičari koji su imali prilike da ga upoznaju kažu za njega da je stidljiv i nedruštven. Izgleda da je Poenkareova pretpostavka dugo bila njegova opsesija, zbog čega je verovatno napustio akademski život. Naučnici ne gledaju uvek baš sasvim blagonaklono na one koji se upuštaju u probleme koje hiljade matematičara nisu uspele da reše. Obično se mladim matematičarima savetuje da tokom takozvanog kreativnog prozora svoju energiju usmere na probleme za koje ima više izgleda da će biti rešeni. Smatra se da je mnogo bolje produktivno dokazati niz teorija nego uzaludno potrošiti silne godine na hipotezu poput Poenkareove i, na kraju, ne dobiti nikakav rezultat. No, Perelman je jedan od retkih koji su uspeli. To je već bilo dovoljno da uđe u panteon najvećih matematičara. No, genijalnost i složenost samog dokaza, uz Perelmanovo odbijanje bilo kakvih priznanja, stavili su ga u poziciju iza „nedostižne granice ne samo matematike već ljudske misli uopšte“, kako je za Perelmana rečeno na kongresu u Madridu.