Trideset pet

Neke stvari jednostavno ne rade, a ponekad zaista ne vidite šta ih sprečava u tome. To je posebno frustrirajuće kada vam analiza pokazuje da se sve uklapa. Najčešći način da to prevaziđete je da otkrijete nevidljivi uslov ili neko veće, isprva skriveno pravilo koje vašu konstrukciju čini nemogućom. Evo jednog primera iz geometrije. Da li ovih 35 figura od po šest kvadrata koji su povezani po ivicama možete da uklopite i spojite tako da sve zajedno grade pravougaonik, a da vam se ne pojavi nijedna kvadratna praznina ili da preostane kvadrat viška? Na prvi pogled deluje moguće. Sabiranjem svih kvadratića u ovih 35 figura vidi se da bi takav pravougaonik morao da se sastoji od ukupno 210 kvadrata. Budući da ih je paran broj, čini se da je moguće napraviti traženi pravougaonik i to na bar sedam različitih načina – njegove moguće dimenzije bi mogle biti 2×105, 3×70, 5×42, 6×35, 7×30, 10×21 ili pak 14×15 kvadrata. Međutim, nemojte uopšte da pokušavate da od ovih 35 figura sastavite pravougaonik. Mada se čini da ima dovoljno mogućnosti, to uopšte nije moguće. Jer, pored ukupnog broja kvadrata, mora se uzeti u obzir i parnost, kao jedna vrlo važna osobina matematičkih objekata. Kao karakteristika, parnost se najpre odnosi na cele brojeve, koji kao što je više nego dobro poznato, mogu biti parni ili neparni. No, parnost se kao osobina može odnositi i na druge stvari, kao što su funkcije, koje takođe mogu biti neparne ili parne u zavisnosti od toga da li se menjaju ili ne ako je njihov argument pozitivan ili negativan broj. No, parnost se odnosi i na geometrijske objekte, odnosno na njihove celobrojne koordinate u Euklidovom prostoru. Kod šahovskih figura, na primer, jedan lovac se uvek kreće po poljima iste parnosti – uvek po belim ili uvek po crnim poljima. Kod ovog problema sa 35 figura, parnost kao skriveni uslov može štošta da objasni. Naime, svaki pravougaonik, bez obzira na dimenzije, mora da ima isti broj parnih i neparnih polja, odnosno po analogiji sa šahovskom pločom, „crnih“ i „belih“ polja. U našem slučaju sa 210 kvadrata, pravougaonik mora imati 105 crnih i 105 belih kvadrata. Međutim, ove figure sa šest kvadrata su takve da njih 11 mogu imati 2 crna i 4 bela ili 4 crna i 2 bela polja dok ih je 24 koja imaju 3 crna i 3 bela polja, pa kako god ih složimo na crno-bela šahovska polja, one će prekriti paran broj crnih polja. I paran broj belih. A treba da ih bude 105 i po jednih i po drugih, dakle po neparan broj. Iz toga proističe da se pravougaonik ne može sastaviti. Setite se pouke ovog u suštini lakog, ali apstraktnog matematičkog zadatka kad se budete pitali nešto vrlo konkretno – zašto vam budžet nikada ne prekriva potrošnju, zašto ne uspevate da dobijete posao ili uđete u neku zajednicu za koju ispunjavate uslove. Moguće je da postoji neka pravilnost koju sve vreme narušavate, a da je niste svesni. Ponekad je i u fizici nešto nemoguće jer se još ne događa na određenoj temperaturi, a nekad samo zato što narušava izvesnu simetriju. Kao što to čine ove bezazlene figure sa po šest kvadrata, koje se inače nazivaju heksonimi i kojih uvek postoji tačno 35. Pod uslovom da izostavimo sve njihove simetrične figure, one koje nastaju rotacijom ili kao odraz u ogledalu postojećih.